Apa kekuatan nomor itu

• Alasan

Harap dicatat bahwa bagian ini berkaitan dengan konsep gelar hanya dengan indikator alami dan nol.

Konsep dan sifat derajat dengan eksponen rasional (dengan negatif dan fraksional) akan dibahas dalam pelajaran untuk kelas 8.

Jadi, mari kita pahami apa kekuatan angka tersebut. Untuk merekam produk dari nomor itu sendiri pada dirinya sendiri beberapa kali menggunakan notasi yang disingkat.

Alih-alih produk dari enam faktor identik 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4, mereka menulis 4 6 dan mengatakan "empat ke tingkat keenam".

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

Ekspresi 4 6 disebut kekuatan angka, di mana:

• 4 - dasar tingkat;
• 6 - eksponen.

Secara umum, derajat dengan basis "a" dan indeks "n" ditulis menggunakan ungkapan:

Tingkat angka "a" dengan indeks alami "n", lebih besar dari 1, adalah produk dari faktor yang sama "n", yang masing-masing sama dengan angka "a".

Notasi "a n" dibaca seperti ini: "tetapi untuk kekuatan n" atau "kekuatan ke-n dari angka a".

Pengecualian adalah catatan:

• a 2 - dapat diucapkan sebagai "kuadrat";
• a 3 - itu bisa diucapkan sebagai “but in a cube”.

Tentu saja, ungkapan di atas dapat dibaca untuk menentukan tingkat:

• a 2 - "dan di tingkat kedua";
• a 3 - "dan di tingkat ketiga."

Kasus khusus terjadi ketika eksponen adalah satu atau nol (n = 1; n = 0).

Tingkat angka "a" dengan indeks n = 1 adalah angka itu sendiri:
a 1 = a

Angka apa pun di tingkat nol adalah satu.
a 0 = 1

Nol dalam tingkat alamiah apa pun adalah nol.
0 n = 0

Unit untuk tingkat apa pun sama dengan 1.
1 n = 1

Ekspresi 0 0 (nol ke nol) dianggap tidak berarti.

Ketika memecahkan contoh, kita harus ingat bahwa menaikkan ke kekuatan disebut menemukan nilai numerik atau alfabet setelah kenaikan menjadi kekuatan.

Sebuah contoh Naikkan derajat.

• 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
• 2.5 2 = 2.5 · 2.5 = 6.25
• (

Menambah angka negatif

Basis derajat (angka yang dinaikkan ke kekuatan) dapat berupa angka - positif, negatif, atau nol.

Ketika menaikkan ke kekuatan angka positif, angka positif diperoleh.

Ketika membangun derajat alami nol, nol diperoleh.

Ketika menaikkan angka negatif menjadi kekuatan, hasilnya bisa berupa angka positif atau negatif. Itu tergantung pada apakah eksponen itu ganjil atau ganjil.

Pertimbangkan contoh meningkatkan kekuatan angka negatif.

Dari contoh-contoh yang dipertimbangkan, jelas bahwa jika angka negatif dinaikkan ke tingkat ganjil, maka angka negatif diperoleh. Karena produk dari jumlah ganjil faktor negatif adalah negatif.

Jika angka negatif dinaikkan ke kekuatan genap, maka angka positif diperoleh. Karena produk dari sejumlah faktor negatif adalah positif.

Angka negatif yang dinaikkan ke kekuatan genap adalah angka positif.

Angka negatif yang dinaikkan ke kekuatan ganjil adalah angka negatif.

Kuadrat dari angka apa pun adalah angka positif atau nol, yaitu:

a 2 ≥ 0 untuk setiap a.

• 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Perhatikan!

Ketika memecahkan contoh eksponensial, mereka sering membuat kesalahan, lupa bahwa entri ()5) 4 dan −5 4 adalah ekspresi yang berbeda. Hasil eksponensial dari ungkapan-ungkapan ini akan berbeda.

Menghitung (−5) 4 berarti menemukan nilai kekuatan keempat dari angka negatif.

Sementara menemukan "−5 4" berarti bahwa contoh tersebut harus diselesaikan dalam 2 langkah:

1. Naikkan ke kekuatan keempat nomor positif 5.
   5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Letakkan tanda minus di depan hasil (yaitu, lakukan tindakan pengurangan).
   −5 4 = −625

Sebuah contoh Hitung: −6 2 - (−1) 4

1. 6 2 = 6 · 6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. - (- 1) 4 = −1
5. −36 - 1 = −37

Prosedur dalam contoh dengan derajat

Perhitungan nilai ini disebut tindakan eksponensial. Ini adalah aksi dari langkah ketiga.

Dalam ekspresi dengan kekuatan yang tidak mengandung tanda kurung, mereka pertama-tama mengeksekusi kekuatan, kemudian mengalikan dan membagi, dan pada akhirnya menambah dan mengurangi.

Jika ada tanda kurung dalam ekspresi, maka pertama-tama dalam urutan di atas, lakukan tindakan dalam tanda kurung, dan kemudian tindakan yang tersisa dalam urutan yang sama dari kiri ke kanan.

Untuk memfasilitasi solusi contoh, ada baiknya untuk mengetahui dan menggunakan tabel gelar, yang dapat Anda unduh secara gratis di situs web kami.

Untuk memeriksa hasil Anda, Anda dapat menggunakan kalkulator peningkatan derajat online di situs web kami.

Tingkat angka: definisi, penunjukan, contoh.

Pada artikel ini, kita akan mengerti berapa derajat jumlahnya. Di sini kita akan memberikan definisi derajat suatu angka, dengan tampilan terperinci pada semua indikator derajat yang mungkin, dimulai dengan indikator alami dan berakhir dengan irasional. Dalam materi Anda akan menemukan banyak contoh derajat yang mencakup semua seluk-beluk yang muncul.

Menavigasi halaman.

Derajat dengan indikator alami, kuadrat angka, kubus angka

Untuk mulai dengan, kami akan memberikan definisi tingkat angka dengan indeks alami. Ke depan, kita mengatakan bahwa definisi derajat a dengan indeks alami n diberikan untuk bilangan real a, yang akan kita sebut sebagai basis derajat, dan bilangan alami n, yang akan kita sebut eksponen. Kami juga mencatat bahwa derajat dengan indeks alami ditentukan melalui produk, sehingga untuk memahami materi di bawah ini, Anda perlu memiliki gagasan tentang penggandaan angka.

Tingkat a dengan indeks alami n adalah ekspresi dari bentuk a n, nilainya sama dengan produk n faktor, yang masing-masing sama dengan a, yaitu,.
Secara khusus, derajat a dengan indeks 1 adalah angka itu sendiri, yaitu, 1 = a.

Dari definisi ini jelas bahwa dengan bantuan gelar dengan indeks alami seseorang dapat menuliskan karya-karya dari beberapa faktor yang identik. Misalnya, 8 · 8 · 8 · 8 dapat ditulis sebagai gelar 8 4. Ini analog dengan bagaimana jumlah istilah identik ditulis menggunakan karya, misalnya, 8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4 (lihat artikel gagasan umum tentang penggandaan bilangan asli).

Segera harus dikatakan tentang aturan membaca derajat. Cara universal untuk membaca dan merekam adalah: "ke kekuatan n". Dalam beberapa kasus, varian semacam itu juga dapat diterima: "a to the nth degree" dan "nth power of the number". Misalnya, ambil kelas 8 12, ini adalah "delapan pangkat dua belas", atau "delapan pangkat dua belas", atau "kekuatan kedua belas delapan".

Tingkat kedua dari nomor tersebut, serta tingkat ketiga dari nomor tersebut memiliki nama mereka sendiri. Kekuatan kedua dari bilangan disebut kuadrat dari bilangan, misalnya, 7 2 berbunyi seperti "tujuh kuadrat" atau "kuadrat dari angka tujuh". Kekuatan ketiga dari bilangan disebut kubus angka, misalnya, 5 3 dapat dibaca sebagai "lima dalam kubus" atau mengatakan "kubus nomor 5".

Saatnya memberikan contoh derajat dengan indikator alami. Mari kita mulai dengan derajat 5 7, di sini 5 adalah basis dari derajat, dan 7 adalah eksponen Mari kita beri contoh lain: pecahan desimal 4,32 adalah basis, dan bilangan bulat positif 9 adalah eksponen (4,32) 9.

Harap dicatat bahwa dalam contoh terakhir, basis derajat 4.32 ditulis dalam tanda kurung: untuk menghindari perbedaan, kami akan mengambil semua basis derajat dalam tanda kurung yang berbeda dari bilangan asli. Sebagai contoh, kami memberikan derajat berikut dengan indikator alami, basis mereka bukan bilangan alami, sehingga ditulis dalam tanda kurung. Nah, untuk kejelasan lengkap pada saat ini kami menunjukkan perbedaan yang terkandung dalam catatan bentuk (−2) 3 dan −2 3. Ekspresi (−2) 3 adalah derajat dari angka negatif −2 dengan indeks alami 3, dan ekspresi −2 3 (dapat ditulis sebagai - (2 3)) sesuai dengan angka yang berseberangan dengan nilai derajat 2 3.

Perhatikan bahwa ada notasi untuk derajat a dengan indeks n dari bentuk a ^ n. Selain itu, jika n adalah bilangan bulat positif multinilai, maka eksponen diambil dalam tanda kurung. Misalnya, 4 ^ 9 adalah entri lain dari gelar 4 9. Berikut adalah beberapa contoh rekaman derajat menggunakan simbol "^": 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). Berikut ini, kita terutama akan menggunakan notasi untuk derajat bentuk dan n.

Definisi di atas memungkinkan untuk menemukan nilai derajat dengan indikator alami. Untuk melakukan ini, hitung produk dari n faktor yang sama dengan a. Topik ini layak mendapat pertimbangan terperinci dalam artikel terpisah - lihat eksponensial dengan indikator alami.

Salah satu tugas, kebalikan dari konstruksi dengan indikator alami, adalah masalah menemukan basis derajat dengan nilai derajat dan indikator yang diketahui. Tugas ini mengarah pada konsep root dari angka.

Ada baiknya juga mengeksplorasi sifat-sifat derajat dengan indeks alami, yang mengikuti dari definisi derajat dan sifat-sifat penggandaan ini.

Gelar dengan integer

Setelah kita menentukan derajat a dengan indeks alami, keinginan logis muncul untuk memperluas gagasan tentang derajat dan beralih ke tingkat angka, di mana setiap bilangan bulat, termasuk negatif dan nol, akan menjadi indikator. Ini harus dilakukan sedemikian rupa sehingga semua properti derajat dengan indeks alami tetap valid, karena bilangan asli adalah bagian dari bilangan bulat.

Derajat a dengan bilangan bulat positif tidak lebih dari derajat a dengan eksponen alami :, di mana n adalah bilangan bulat positif.

Sekarang kita mendefinisikan kekuatan nol dari a. Mari kita lanjutkan dari properti kekuatan parsial dengan basis yang sama: untuk bilangan asli m dan n, m m: a n = a m - n (kondisi a ≠ 0 diperlukan, karena jika tidak kita akan memiliki pembagian dengan nol). Untuk m = n, persamaan tertulis mengarah ke hasil berikut: a n: a n = a n - n = a 0. Tetapi di sisi lain, a n: a n = 1 sebagai hasil bagi dari angka yang sama a n dan a. Karena itu, kita harus menerima 0 = 1 untuk bilangan real bukan nol a.

Tapi bagaimana dengan nol hingga nol derajat? Pendekatan yang digunakan dalam paragraf sebelumnya tidak cocok untuk kasus ini. Kita dapat mengingat properti produk derajat dengan basa yang sama a · a n = a m + n, khususnya, ketika n = 0, kita memiliki m · a 0 = a m (persamaan ini juga menunjukkan bahwa 0 = 1). Namun, untuk a = 0 kita mendapatkan kesetaraan 0 m · 0 0 = 0 m, yang dapat ditulis ulang sebagai 0 = 0, itu benar untuk setiap m alami, terlepas dari apa nilai ekspresi 0 0 sama dengan. Dengan kata lain, 0 0 bisa sama dengan angka apa pun. Untuk menghindari ambiguitas ini, kami tidak akan memberikan nol pada kekuatan nol akal (untuk alasan yang sama, ketika mempelajari pembagian, kami tidak memberikan arti pada ungkapan 0: 0).

Mudah untuk memverifikasi bahwa persamaan kita a 0 = 1 untuk angka bukan nol a konsisten dengan sifat derajat ke derajat (a m) n = a m · n. Memang, untuk n = 0, kita memiliki (a m) 0 = 1 dan a · 0 = a 0 = 1, dan untuk m = 0 kita memiliki (a 0) n = 1 n = 1 dan a 0 · n = a 0 = 1.

Jadi kami sampai pada definisi gelar dengan indikator nol. Tingkat a dengan eksponen nol (bilangan real bukan nol) adalah satu, yaitu 0 = 1 untuk for 0.

Mari kita beri contoh: 5 0 = 1, (33.3) 0 = 1, dan 0 0 tidak didefinisikan.

Derajat nol dari angka a ditentukan, ia tetap menentukan derajat negatif bilangan bulat bilangan a. Ini akan membantu kita semua properti yang sama dari produk derajat dengan basis yang sama a · a n = a m + n. Kita mengambil m = −n, yang mensyaratkan kondisi a ≠ 0, lalu a −n · a n = a −n + n = a 0 = 1, di mana kita menyimpulkan bahwa n dan a aren adalah angka yang saling terbalik. Dengan demikian, adalah logis untuk mendefinisikan bilangan ke derajat negatif bilangan bulat −n sebagai fraksi. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa dengan tugas seperti itu derajat bilangan nol a dengan bilangan bulat negatif tetap valid semua sifat gelar dengan indeks alami (lihat properti gelar dengan indeks bilangan bulat), yang kami inginkan

Mari kita dengarkan definisi gelar dengan indeks negatif keseluruhan. Derajat a dengan bilangan bulat negatif − n (bilangan real bukan nol) adalah fraksi, yaitu, dengan ≠ 0 dan bilangan bulat positif n.

Pertimbangkan definisi gelar ini dengan bilangan bulat negatif pada contoh spesifik :.

Ringkas informasi ini.

Tingkat a dengan integer z didefinisikan sebagai:

Gelar dengan indikator rasional

Dari eksponen bilangan bulat dari angka a, transisi ke indikator rasional menunjukkan dirinya. Di bawah ini kami mendefinisikan gelar dengan indikator rasional, dan kami akan melakukannya sedemikian rupa sehingga semua properti derajat dengan seluruh indikator dipertahankan. Ini diperlukan karena bilangan bulat adalah bagian dari bilangan rasional.

Diketahui bahwa himpunan bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat dan bilangan pecahan, dan setiap bilangan pecahan dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa positif atau negatif. Kami mendefinisikan derajat dengan integer eksponen dalam paragraf sebelumnya, oleh karena itu, untuk melengkapi definisi eksponen dengan eksponen rasional, kita perlu memberi makna pada derajat a dengan eksponen fraksional m / n, di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah alami. Ayo lakukan.

Pertimbangkan gelar dengan eksponen fraksional. Untuk mempertahankan kekuatan properti dari derajat ke derajat, kesetaraan harus dipenuhi. Jika kita memperhitungkan kesetaraan yang diperoleh dan bagaimana kita menentukan akar tingkat ke-n, maka masuk akal untuk menerima, asalkan untuk diberikan m, n dan a, ungkapan itu masuk akal.

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa semua properti gelar dengan indikator bilangan bulat valid (ini dilakukan pada bagian properti gelar dengan indikator rasional).

Alasan di atas memungkinkan kita untuk membuat kesimpulan berikut: jika, untuk m, n dan a, ungkapan itu masuk akal, maka derajat a dengan indeks fraksional m / n adalah akar dari tingkat ke-n dari a ke tingkat m.

Pernyataan ini membawa kita pada definisi derajat dengan eksponen fraksional. Tinggal menulis saja, yang m, n dan a beralasan. Bergantung pada kendala yang dikenakan pada m, n, dan a, ada dua pendekatan dasar.

Cara termudah untuk memberlakukan pembatasan pada a, dengan mengambil a≥0 untuk m positif dan a> 0 untuk m negatif (karena untuk m≤0, derajat 0 m tidak ditentukan). Kemudian kita mendapatkan definisi derajat dengan eksponen fraksional berikut.

Tingkat bilangan positif a dengan indeks fraksional m / n, di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan bulat positif, disebut akar ke-n dari pangkat p, yaitu,.

Derajat pecahan nol juga ditentukan dengan satu-satunya syarat bahwa indikator harus positif.

Tingkat nol dengan indeks fraksional positif m / n, di mana m adalah bilangan bulat positif dan n adalah bilangan bulat positif, didefinisikan sebagai.
Ketika tingkat tidak ditentukan, yaitu tingkat angka nol dengan indikator negatif fraksional tidak masuk akal.

Perlu dicatat bahwa dengan definisi derajat dengan eksponen fraksional, ada satu nuansa: untuk beberapa negatif dan beberapa m dan n, ekspresi itu masuk akal, dan kami telah membuang kasus-kasus ini dengan memasukkan kondisi a≥0. Sebagai contoh, masuk akal untuk menulis atau, dan definisi yang diberikan di atas membuat kita mengatakan bahwa derajat dengan indeks fraksional suatu spesies tidak masuk akal, karena dasarnya tidak boleh negatif.

Pendekatan lain untuk menentukan derajat dengan fraksional m / n adalah dengan mempertimbangkan indeks akar genap dan ganjil secara terpisah. Pendekatan ini memerlukan kondisi tambahan: tingkat angka a, indikator yang merupakan fraksi yang dikurangi, dianggap tingkat angka a, indikator yang merupakan fraksi irreducible yang sesuai (kami akan menjelaskan pentingnya kondisi ini tepat di bawah). Yaitu, jika m / n adalah fraksi yang tidak dapat direduksi, maka untuk bilangan alami k, derajatnya diganti.

Untuk genap n dan positif m, ungkapan itu masuk akal untuk setiap a non-negatif (akar genap dari bilangan negatif tidak masuk akal), untuk m negatif, bilangan a juga harus bukan nol (jika dibagi dengan nol). Untuk n ganjil dan positif, bilangan a dapat berupa apa saja (akar dari derajat ganjil ditentukan untuk bilangan real apa pun), dan untuk m negatif, angka a harus bukan nol (sehingga tidak ada pembagian dengan nol).

Alasan di atas membawa kita ke definisi derajat dengan eksponen fraksional.

Biarkan m / n menjadi fraksi tak tereduksi, m menjadi bilangan bulat, dan n menjadi bilangan bulat positif. Untuk setiap pecahan yang dapat dikurangi, derajat diganti dengan. Tingkat dari dengan eksponen fraksional irreducible m / n adalah untuk

• bilangan real a, bilangan bulat positif m dan bilangan bulat positif g aneh, misalnya;
• bilangan real nol, nol, seluruh negatif m, dan n ganjil, misalnya;
• angka non-negatif apa pun, bilangan bulat positif m dan bahkan n, misalnya,;
• a positif, bilangan bulat negatif m dan bahkan n, misalnya,;
• dalam kasus lain, derajat dengan eksponen fraksional tidak ditentukan, misalnya derajat tidak didefinisikan.

Kami menjelaskan mengapa suatu derajat dengan eksponen fraksional yang dapat dibatalkan pada awalnya diganti oleh eksponen dengan eksponen yang tidak dapat direduksi. Jika kita hanya mendefinisikan derajat sebagai, dan tidak membuat reservasi tentang irreducibilitas fraksi m / n, maka kita akan dihadapkan dengan situasi seperti berikut: sejak 6/10 = 3/5, maka kesetaraan harus berlaku, tetapi, a.

Perhatikan bahwa definisi pertama gelar dengan indeks fraksional lebih mudah digunakan daripada yang kedua. Karena itu, kami akan menggunakannya di masa depan.

tingkat bilangan positif a dengan indeks fraksional m / n kita definisikan sebagai, untuk catatan negatif kita tidak melampirkan arti, tingkat angka nol ditentukan untuk indikator fraksional positif m / n seperti, untuk indikator fraksional negatif derajat angka nol tidak ditentukan.

Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, kami menarik perhatian pada fakta bahwa eksponen fraksional dapat ditulis dalam bentuk fraksi desimal atau angka campuran, misalnya,. Untuk menghitung nilai ekspresi jenis ini, Anda perlu menulis eksponen dalam bentuk fraksi biasa, dan kemudian menggunakan definisi derajat dengan eksponen fraksional. Untuk contoh yang ditunjukkan, kami memiliki dan.

Gelar dengan indikator yang tidak rasional dan valid

Diketahui bahwa himpunan bilangan real dapat dianggap sebagai penyatuan himpunan bilangan rasional dan irasional. Oleh karena itu, gelar dengan indikator yang valid dapat dianggap didefinisikan ketika gelar dengan indikator rasional dan gelar dengan indikator irasional ditentukan. Kami berbicara tentang gelar dengan indikator rasional pada paragraf sebelumnya, masih berurusan dengan gelar dengan indikator irasional.

Konsep derajat a dengan indeks irasional akan didekati secara bertahap.

Membiarkan menjadi urutan perkiraan desimal dari angka irasional. Misalnya, ambil nomor irasional, maka Anda dapat menerima, atau, dll. Perlu dicatat bahwa jumlahnya rasional.

Urutan bilangan rasional sesuai dengan deretan derajat, dan kita dapat menghitung nilai derajat ini berdasarkan bahan artikel yang naik ke derajat rasional. Sebagai contoh, ambil a = 3, lalu, dan setelah naik ke level, kita dapatkan.

Akhirnya, barisan menyatu ke angka tertentu, yang merupakan nilai dari kekuatan a dengan eksponen irasional. Mari kita kembali ke contoh kita: gelar dengan indikator irasional dari bentuk konvergen ke angka yang sama dengan 6,27 dengan akurasi seratus.

Derajat bilangan positif a dengan indeks irasional adalah ekspresi yang nilainya sama dengan batas urutan, di mana merupakan pendekatan desimal berturut-turut dari bilangan irasional.

Tingkat angka nol ditentukan untuk indikator irasional positif, dengan ini. Misalnya, Dan derajat angka 0 dengan indikator irasional negatif tidak ditentukan, misalnya, tidak ditentukan.

Secara terpisah, perlu dikatakan tentang tingkat irasional unit - unit dalam tingkat irasional sama dengan 1. Sebagai contoh, dan.

Akar dan derajat

Gelar

Tingkat adalah ekspresi dari bentuk :, di mana:

• - dasar derajat;
• - eksponen.

Derajat dengan indikator alami

Kami mendefinisikan konsep gelar yang indeksnya adalah bilangan asli (yaitu bilangan bulat dan positif).

1. Menurut definisi :.
2. Menguadratkan angka berarti mengalikannya sendiri:
3. Untuk membuat angka menjadi kubus berarti mengalikannya dengan sendirinya tiga kali :.

Menaikkan angka ke tingkat alami berarti mengalikan angka dengan sendirinya lagi:

Gelar dengan integer

Jika eksponen adalah bilangan bulat positif:

, n> 0

Peningkatan ke nol derajat:

, a ≠ 0

Jika eksponen adalah bilangan bulat negatif:

, a ≠ 0

Catatan: ekspresi tidak didefinisikan, dalam kasus n ≤ 0. Jika n> 0, maka

Gelar dengan indikator rasional

• a> 0;
• n adalah bilangan alami;
• m adalah bilangan bulat;

Properti derajat

Rooting

Akar kuadrat aritmatika

Persamaan memiliki dua solusi: x = 2 dan x = -2. Ini adalah angka yang kuadratnya 4.

Pertimbangkan persamaannya. Mari kita menggambar grafik fungsi dan melihat bahwa persamaan ini juga memiliki dua solusi, satu positif, yang lain negatif.

Tetapi dalam kasus ini, solusinya bukan bilangan bulat. Apalagi mereka tidak rasional. Untuk menuliskan keputusan irasional ini, kami memperkenalkan karakter akar kuadrat khusus.

Akar kuadrat aritmatika adalah angka non-negatif, kuadratnya adalah, ≥ 0. Ketika a

Tingkat dan sifat-sifatnya. Penentuan derajat

Bagian: Matematika

Untuk mengenalkan siswa dengan sifat-sifat derajat dengan indikator alami dan mengajarkan cara melakukan tindakan dengan derajat.

Topik "Tingkat dan propertinya" mencakup tiga pertanyaan:

• Penentuan derajat dengan indikator alami.
• Perkalian dan pembagian kekuasaan.
• Meningkatkan derajat produk dan derajatnya.

Merumuskan definisi gelar dengan indeks alami lebih besar dari 1. Berikan contoh.

Merumuskan definisi gelar dengan indikator 1. Berikan contoh.

Apa urutan tindakan ketika menghitung nilai ekspresi yang mengandung gelar?

Merumuskan properti dasar gelar. Berikan contoh.

Merumuskan aturan perkalian derajat dengan basis yang sama. Berikan contoh.

Merumuskan aturan pembagian derajat dengan basis yang sama. Berikan contoh.

Merumuskan aturan untuk tingkat pekerjaan. Berikan contoh. Buktikan identitas (ab) n = a n • b n.

Merumuskan aturan eksponensial gelar. Berikan contoh. Buktikan identitas (a m) n = a m n.

Tingkat a dengan indeks alami n lebih besar dari 1 adalah produk dari n faktor, yang masing-masing sama dengan a. Derajat a dengan indeks 1 adalah angka itu sendiri.

Tingkat dengan basis a dan indeks n ditulis sebagai berikut: a n. Baca “a to the power of n”; "Kekuatan ke-5".

Menurut definisi, gelar:

Menemukan nilai gelar disebut eksponensial.

1. Contoh eksponensial:

0 4 = 0 • 0 • 0 • 0 = 0

(-5) 3 = (-5) • (-5) • (-5) = -125

2. Bayangkan dalam bentuk angka kuadrat: 25; 0,09;

25 = 5 2; 0,09 = (0,3) 2;.

3. Hadir dalam bentuk kubus angkanya:

27 = 3 3; 0,001 = (0,1) 3; 8 = 2 3.

4. Temukan nilai-nilai ekspresi:

a) 3 • 10 3 = 3 • 10 • 10 • 10 = 3 • 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

1. Tuliskan pekerjaan sebagai gelar:

c) b • b • b • b • b • b • b

d) (-x) • (-x) • (-x) • (-x)

d) (ab) • (ab) • (ab)

2. Hadir dalam bentuk angka kuadrat:

3. Hadir dalam bentuk kubus angkanya:

4. Temukan nilai-nilai ekspresi:

Untuk sembarang nomor a dan sembarang nomor m dan n:

a m a n = a m + n.

Aturan: Ketika mengalikan derajat dengan basis yang sama, basis tidak berubah, dan eksponen ditambahkan bersama-sama.

a m a n a k = a + m a n = a (m + n) + k = a m + n + k

1. Hadir sebagai gelar:

a) x 5 • x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y • y 6 = y 1 • y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 • b 5 • b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 • 9 = 3 4 • 3 2 = 3 6

d) 0,01 • 0,1 3 = 0,1 2 • 0,1 3 = 0,1 5

2. Hadir sebagai gelar dan temukan nilai dalam tabel:

a) 2 3 • 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 • 3 5 = 3 7 = 2187

1. Hadir sebagai gelar:

a) x 3 • x 4 e) x 2 • x 3 • x 4

b) a 6 • a 2 g) 3 3 • 9

c) 4 • c) 7 4 • 49

d) a • a 8 i) 16 • 2 7

e) 2 3 • 2 4 k) 0,3 3 • 0,09

2. Hadir sebagai gelar dan temukan nilai dalam tabel:

a) 2 2 • 2 3 c) 8 • 2 5

b) 3 4 • 3 2 g) 27 • 243

Untuk bilangan apa saja 0 dan bilangan bulat positif arbitrer m dan n, sehingga m> ​​n benar:

a m: a n = a m - n

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

menurut definisi pribadi:

a m: a n = a m - n.

Aturan: Ketika membagi derajat dengan basis yang sama, basis dibiarkan sama, dan derajat pembagi dikurangkan dari eksponen.

Definisi: Derajat tidak sama dengan nol, dengan eksponen nol sama dengan satu:

Angka Tingkat jumlahnya.

Ini adalah fakta yang diketahui bahwa jumlah beberapa komponen yang sama dapat ditemukan menggunakan perkalian. Misalnya: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5x6. Ungkapan seperti itu dikatakan jumlah komponen yang sama yang diubah menjadi produk. Dan sebaliknya, jika kita membaca persamaan ini dari kanan ke kiri, kita mendapatkan bahwa kita telah memperluas jumlah istilah yang sama. Demikian pula, seseorang dapat menutup produk dari beberapa faktor yang sama 5x5x5x5x5x5 = 5 6.

Artinya, alih-alih mengalikan enam faktor identik 5x5x5x5x5x5, mereka menulis 5 6 dan mengatakan "lima ke tingkat keenam".

Ekspresi 5 6 adalah kekuatan angka, di mana:

5 - dasar derajat;

6 - eksponen.

Tindakan-tindakan yang dengannya produk dari faktor-faktor yang sama diminimalkan ke suatu daya disebut eksponensial.

Secara umum, derajat dengan basis "a" dan indeks "n" ditulis sebagai

Untuk menaikkan angka a menjadi kekuatan n berarti mencari produk dari n faktor, yang masing-masing adalah a

Jika dasar derajat "a" adalah 1, maka nilai derajat untuk setiap n alami adalah 1. Misalnya, 1 5 = 1, 1 256 = 1

Jika kita menaikkan angka "a" ke tingkat pertama, kita mendapatkan angka itu sendiri: a 1 = a

Jika kita menaikkan angka berapa pun ke tingkat nol, maka sebagai hasil perhitungan kita mendapatkan satu. a 0 = 1

Khusus pertimbangkan nomor derajat kedua dan ketiga. Bagi mereka muncul dengan nama: tingkat kedua disebut kuadrat dari angka, yang ketiga - kubus dari angka ini.

Angka apa pun dapat dinaikkan menjadi kekuatan - positif, negatif atau nol. Itu tidak menggunakan aturan berikut:

-dengan menemukan tingkat angka positif, angka positif diperoleh.

-ketika menghitung nol dalam derajat alami, kita mendapatkan nol.

- ketika menghitung tingkat angka negatif, hasilnya bisa berupa angka positif dan negatif. Itu tergantung pada apakah eksponen itu ganjil atau ganjil.

Jika kita memecahkan beberapa contoh tentang penghitungan derajat angka negatif, maka ternyata jika kita menghitung derajat ganjil dari angka negatif, maka hasilnya adalah angka dengan tanda minus. Karena, ketika mengalikan jumlah faktor negatif ganjil, kami memperoleh nilai negatif.

Jika kita menghitung derajat genap untuk angka negatif, maka hasilnya akan menjadi angka positif. Karena, ketika mengalikan sejumlah faktor negatif, kami memperoleh nilai positif.

Tingkat properti dengan indikator alami.

Untuk melipatgandakan derajat dengan basis yang sama, kami tidak mengubah basis, dan menambahkan eksponen derajat:

misalnya: 7 1,7 · 7 - 0,9 = 7 1,7+ (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Untuk memisahkan derajat dengan basis yang sama, kami tidak mengubah basis, tetapi kurangi eksponen:

misalnya: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

Saat menghitung eksponen derajat, kami tidak mengubah basis, dan melipatgandakan eksponen derajat.

misalnya: (2 3) 2 = 2 3 · 2 = 2 6

Jika perlu untuk menghitung ereksi ke tingkat produk, maka masing-masing faktor dinaikkan ke tingkat ini.

misalnya: (2 · 3) 3 = 2 n · 3 m,

Saat melakukan perhitungan pada pembangunan fraksi, kami menaikkan pembilang dan penyebut fraksi ke kekuatan ini.

misalnya: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

Urutan perhitungan saat bekerja dengan ekspresi yang mengandung gelar.

Saat melakukan perhitungan, ekspresi tanpa tanda kurung, tetapi mengandung derajat, pertama-tama melakukan eksponensial, kemudian gandakan dan bagi tindakan, dan baru kemudian tambahkan dan kurangi operasi.

Jika perlu menghitung ekspresi yang mengandung tanda kurung, maka pertama-tama dalam urutan yang ditentukan di atas, kami membuat perhitungan dalam tanda kurung, dan kemudian tindakan yang tersisa dalam urutan yang sama dari kiri ke kanan.

Sangat luas dalam perhitungan praktis untuk penyederhanaan perhitungan menggunakan tabel derajat siap.

Jelaskan cara menemukan kekuatan angka

Hemat waktu dan jangan melihat iklan dengan Knowledge Plus

Hemat waktu dan jangan melihat iklan dengan Knowledge Plus

Jawabannya

Jawabannya diberikan

19kot

Hubungkan Knowledge Plus untuk mengakses semua jawaban. Dengan cepat, tanpa iklan dan istirahat!

Jangan lewatkan yang penting - hubungkan Knowledge Plus untuk melihat jawabannya sekarang.

Tonton video untuk mengakses jawabannya

Oh tidak!
Tampilan Tanggapan Sudah Berakhir

Hubungkan Knowledge Plus untuk mengakses semua jawaban. Dengan cepat, tanpa iklan dan istirahat!

Jangan lewatkan yang penting - hubungkan Knowledge Plus untuk melihat jawabannya sekarang.

Tonton video untuk mengakses jawabannya

Oh tidak!
Tampilan Tanggapan Sudah Berakhir

• Komentar
• Tandai pelanggaran

Jawabannya

Jawabannya diberikan

Nadirka212

Yang paling masuk akal adalah menguraikan angka menjadi faktor prima, maka Anda dapat menemukan basis dan eksponen.
Jika basis diketahui, maka indikator dapat ditemukan dengan logaritma, misalnya,
2 ^ x = 8
Untuk menemukan x, Anda perlu menghitung kedua bagian dasar 2
x = login basis 2 dari 8 = ln 8 / ln 2 (ini dapat dihitung pada kalkulator) = 3
Jika indikator diketahui, basis ditemukan dengan mengekstrak root, misalnya,
x ^ 3 = 8
ekstrak akar kubik dari kedua bagian
x = akar kubik 8 = 2

Jika tidak ada yang tahu satu atau yang lain, menguraikan angka menjadi faktor sederhana, ini dilakukan dengan membagi angka menjadi faktor prima.
614656/2 = 307328
307328/2 = 153664
153664/2 = 76832
76832/2 = 38416
38416/2 = 19208
19208/2 = 9604
9604/2 = 4802
4802/2 = 2401
2401 tidak dapat dibagi dengan 2, oleh 3, oleh 5 (berturut-turut beralih lebih dari bilangan prima)
2407/7 = 343
343/7 = 49
49/7 = 7
7/7 = 1
Total kami dibagi 2 delapan kali dan 7 empat kali, oleh karena itu
614656 = 2 ^ 8 * 7 ^ 4
Jika kita ingin menemukan representasi dalam bentuk a ^ b dengan a dan b dan b harus maksimal, maka sebagai b kita harus mengambil GCD derajat yang diperoleh dalam dekomposisi menjadi faktor utama, yaitu, dalam hal ini b = GCD (8.4) = 4
dasar derajat a adalah 2 ^ (8 / b) * 7 ^ (4 / b) = 2 ^ 2 * 7 ^ 1 = 4 * 7 = 28

Tingkat dan sifat-sifatnya. Tingkat awal.

Tingkat adalah ekspresi dari bentuk :, di mana:

Gelar dengan integer

tingkat yang merupakan bilangan alami (yaitu bilangan bulat dan positif).

Gelar dengan indikator rasional

tingkat bilangan negatif dan pecahan.

Gelar dengan eksponen irasional

derajat yang eksponennya adalah fraksi atau akar desimal tak terbatas.

Properti derajat

Fitur derajat.

• Angka negatif yang dinaikkan ke kekuatan genap adalah angka positif.
• Angka negatif yang dinaikkan ke kekuatan ganjil adalah angka negatif.
• Angka positif untuk tingkat apa pun adalah angka positif.
• Nol sama dengan gelar apa pun.
• Angka berapa pun adalah nol derajat.

Apa kekuatan nomornya?

Eksponensial adalah operasi matematika yang sama dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian.

Sekarang saya akan menjelaskan semuanya dalam bahasa manusia dengan contoh yang sangat sederhana. Berhati-hatilah. Contohnya sederhana, tetapi menjelaskan hal-hal penting.

Mari kita mulai dengan penambahan.

Tidak ada yang bisa dijelaskan di sini. Anda sudah tahu segalanya: ada delapan dari kita. Masing-masing memiliki dua botol cola. Berapa cola? Benar - 16 botol.

Sekarang berkembang biak.

Contoh yang sama dengan Coke dapat ditulis secara berbeda :. Matematikawan adalah orang yang licik dan malas. Mereka pertama-tama memperhatikan beberapa pola, dan kemudian menemukan cara untuk dengan cepat "menghitung" mereka. Dalam kasus kami, mereka memperhatikan bahwa masing-masing dari delapan orang memiliki jumlah botol cola yang sama dan menghasilkan alat yang disebut perkalian. Akui itu dianggap lebih mudah dan lebih cepat daripada.

Ini adalah tabel perkalian. Ulangi
Jadi, untuk menghitung lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesalahan, Anda hanya perlu mengingat tabel perkalian. Tentu saja, Anda dapat melakukan semuanya lebih lambat, lebih sulit dan dengan kesalahan! Tapi...

Ini adalah tabel perkalian. Ulangi

Dan satu lagi, lebih indah:

Apa trik pintar lain dari akun yang ditemukan oleh ahli matematika yang malas? Benar - pengenalan angka dalam derajat.

Meningkatkan angka menjadi kekuatan.

Jika Anda perlu mengalikan angka itu sendiri lima kali, maka para ahli matematika mengatakan bahwa Anda perlu membuat angka ini ke tingkat kelima. Misalnya, Matematikawan ingat bahwa dua hingga tingkat lima adalah ini. Dan pecahkan teka-teki seperti itu dalam pikiran - lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesalahan.

Untuk melakukan ini, ingatlah apa yang disorot dalam warna dalam tabel derajat angka. Percayalah, ini akan membuat hidup Anda lebih mudah.

Ngomong-ngomong, mengapa derajat kedua disebut kuadrat angka, dan yang ketiga - kubus? Apa artinya ini? Pertanyaan yang sangat bagus Sekarang Anda akan memiliki kotak dan kubus.

Contoh dari kehidupan №1.

Mari kita mulai dengan kuadrat atau angka derajat kedua.

Bayangkan sebuah kolam persegi berukuran meter demi meter. Kolam renang ada di dacha Anda. Panas dan sangat ingin berenang. Tapi... kolam tanpa dasar! Perlu untuk meletakkan bagian bawah ubin kolam renang. Berapa banyak ubin yang Anda butuhkan? Untuk menentukan ini, Anda perlu mengetahui area bagian bawah kolam.

Anda bisa menghitung, mencungkil jari, bahwa dasar kolam terdiri dari kubus meter per meter. Jika Anda memiliki ubin meter demi meter, Anda akan membutuhkan potongan. Mudah... Tapi di mana Anda melihat ubin seperti itu? Ubin akan lebih mungkin untuk melihat cm. Dan kemudian Anda akan tersiksa oleh "jari". Maka Anda harus memperbanyak. Jadi, di satu sisi dasar kolam, kita akan cocok ubin (potongan) dan di sisi lain juga, ubin. Mengalikan dengan, Anda mendapatkan ubin ().

Apakah Anda memperhatikan bahwa untuk menentukan area dasar kolam, kami mengalikan angka yang sama dengan sendirinya? Apa artinya ini? Setelah angka yang sama dikalikan, kita dapat menggunakan teknik "eksponensial". (Tentu saja, ketika Anda hanya memiliki dua angka, Anda masih melipatgandakannya atau menaikkannya menjadi kekuatan. Tetapi jika Anda memiliki banyak angka, maka menaikkannya menjadi lebih mudah dan kesalahan perhitungan juga lebih sedikit. Untuk Ujian Unified State ini sangat penting)
Jadi, tigapuluh ke tingkat kedua adalah (). Atau Anda dapat mengatakan bahwa tiga puluh kuadrat akan menjadi. Dengan kata lain, tingkat kedua angka selalu dapat direpresentasikan sebagai kuadrat. Sebaliknya, jika Anda melihat kotak, SELALU kekuatan kedua dari nomor tertentu. Kuadrat adalah gambar tingkat kedua dari sebuah angka.

Contoh dari kehidupan №2.

Inilah tugas untuk Anda, hitung berapa kotak pada papan catur dengan bantuan kuadrat angka. Di satu sisi sel dan di sisi lain juga. Untuk menghitung jumlah mereka, Anda perlu delapan kali delapan atau... jika Anda melihat bahwa papan catur adalah kotak dengan sisi, maka Anda dapat membangun delapan kotak. Dapatkan sel. () Jadi?

Contoh dari kehidupan nomor 3.

Sekarang kubus atau kekuatan ketiga angka. Kolam yang sama. Tapi sekarang Anda perlu tahu berapa banyak air yang harus Anda tuangkan ke kolam ini. Anda perlu menghitung volume. (Volume dan cairan, omong-omong, diukur dalam meter kubik. Tanpa diduga, kan?) Gambar sebuah kolam: bagian bawah berukuran satu meter dan kedalaman satu meter dan cobalah untuk menghitung berapa banyak kubus dalam meter ke meter yang akan masuk ke kolam Anda.

Arahkan jari dan hitung saja! Satu, dua, tiga, empat... dua puluh dua, dua puluh tiga... Berapa banyak yang terjadi? Tidak keluar Apakah sulit menghitung dengan jari? Itu dia! Ambil contoh matematikawan. Mereka malas, jadi mereka memperhatikan bahwa untuk menghitung volume kolam, perlu untuk mengalikan panjang, lebar, dan tinggi satu sama lain. Dalam kasus kami, volume kumpulan akan sama dengan kubus... Apakah lebih mudah, bukan?

Dan sekarang bayangkan bagaimana ahli matematika malas dan licik, jika mereka menyederhanakannya juga. Membawa semuanya menjadi satu tindakan. Mereka memperhatikan bahwa panjang, lebar dan tinggi adalah sama dan jumlah yang sama dikalikan dengan sendirinya... Dan apa artinya ini? Ini artinya Anda bisa menggunakan gelar. Jadi, apa yang pernah Anda hitung sebagai jari, mereka lakukan dalam satu tindakan: tiga dalam kubus adalah sama. Ini ditulis dengan cara ini :.

Tetap hanya untuk mengingat tabel derajat. Jika Anda, tentu saja, malas dan licik seperti ahli matematika. Jika Anda suka bekerja keras dan membuat kesalahan, Anda dapat terus menghitung dengan jari Anda.

Nah, untuk akhirnya meyakinkan Anda bahwa gelar diciptakan oleh orang yang menyerah dan menipu untuk menyelesaikan masalah hidup mereka, dan bukan untuk menciptakan masalah bagi Anda, berikut adalah beberapa contoh lagi dari kehidupan.

Contoh dari kehidupan №4.

Anda memiliki sejuta rubel. Di awal setiap tahun, Anda menghasilkan satu juta setiap satu juta. Artinya, setiap juta Anda di awal setiap tahun menjadi dua kali lipat. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki selama bertahun-tahun? Jika Anda duduk dan "menghitung jari", maka Anda adalah orang yang sangat pekerja keras dan... bodoh. Tetapi kemungkinan besar Anda akan memberikan jawaban dalam beberapa detik, karena Anda pintar! Jadi, di tahun pertama - dua kali dua... di tahun kedua - apa yang terjadi, dua tahun lagi, di tahun ketiga... Berhenti! Anda perhatikan bahwa jumlahnya dikalikan dengan sendirinya satu kali. Jadi, dua hingga tingkat kelima - sejuta! Sekarang bayangkan Anda memiliki kompetisi dan mereka yang menerima jutaan akan lebih cepat untuk menghitung... Perlu mengingat derajat angka-angka, bagaimana menurut Anda?

Contoh dari angka kehidupan 5.

Anda memiliki satu juta. Pada awal setiap tahun Anda menghasilkan setiap dua juta lebih. Wow benarkah? Setiap juta tiga kali lipat. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki dalam setahun? Mari kita hitung. Tahun pertama adalah mengalikan dengan, maka hasilnya masih dengan... Itu sudah membosankan, karena Anda sudah mengerti segalanya: tiga kali lipatnya dengan sendirinya. Jadi di tingkat keempat sama dengan satu juta. Anda hanya perlu mengingat bahwa tiga hingga tingkat keempat adalah atau.

Sekarang Anda tahu bahwa dengan bantuan menaikkan angka ke kekuatan Anda akan sangat memudahkan hidup Anda. Mari kita lihat lebih jauh apa yang dapat Anda lakukan dengan gelar dan apa yang perlu Anda ketahui tentang derajat.

Istilah dan konsep.

Jadi mari kita mulai dengan mendefinisikan konsep. Apa yang Anda pikirkan adalah eksponen? Sangat sederhana - ini adalah angka yang "di atas" dari kekuatan angka tersebut. Tidak ilmiah, tetapi bisa dimengerti dan mudah diingat...

Jadi pada saat yang sama, apa dasar dari gelar tersebut? Yang lebih sederhana adalah angka di bagian bawah, di bagian bawah.

Ini gambar kesetiaan Anda.

Nah, secara umum, untuk meringkas dan mengingat lebih baik... Derajat dengan basis " dan indikator " dibaca sebagai "ke derajat" dan ditulis sebagai berikut:

Selanjutnya, mengapa mengatakan "tingkat angka dengan indikator alami"?

"Derajat angka dengan indikator alami"

Anda mungkin sudah menebak: karena eksponen adalah bilangan alami. Ya, tetapi apa itu angka alami? SD! Bilangan alami adalah yang digunakan dalam akun saat mendaftarkan item: satu, dua, tiga... Saat kami menghitung item, kami tidak mengatakan: "minus lima", "minus enam", "minus tujuh". Kami juga tidak mengatakan: "sepertiga", atau "nol poin, lima persepuluh". Ini bukan bilangan alami. Dan berapa angka-angka ini seperti yang Anda pikirkan?

Angka seperti "minus lima", "minus enam", "minus tujuh" merujuk ke angka integer. Secara umum, bilangan bulat mencakup semua bilangan asli, angka yang berseberangan dengan bilangan asli (yaitu, diambil dengan tanda minus), dan sebuah angka. Nol mudah dipahami - saat ini tidak ada apa-apa. Dan apa arti angka negatif ("negatif")? Tapi mereka diciptakan pertama-tama untuk menunjuk hutang: jika Anda memiliki saldo di telepon dalam rubel, ini berarti Anda berutang rubel operator.

Pecahan dalam bentuk apa pun adalah bilangan rasional. Bagaimana mereka muncul, bagaimana menurutmu? Sangat sederhana. Ribuan tahun yang lalu, nenek moyang kita menemukan bahwa mereka tidak memiliki bilangan alami untuk mengukur panjang, berat, luas, dll. Dan mereka datang dengan bilangan rasional... Menarik, bukan?

Masih ada bilangan irasional. Berapa angka-angka ini? Singkatnya, desimal tak terbatas. Misalnya, jika kelilingnya dibagi dengan diameternya, maka diperoleh angka irasional.

Kesimpulannya:

• Bilangan alami adalah angka yang digunakan saat menghitung, yaitu, dll.
• Integer - semua bilangan asli, angka alami dengan minus dan angka 0.
• Angka pecahan dianggap rasional.
• Bilangan irasional adalah desimal tak terbatas

Derajat dengan indikator alami

Mari kita mendefinisikan gagasan tentang derajat yang indeksnya adalah bilangan alami (mis. Bilangan bulat dan positif).

1. Angka apa pun di tingkat pertama sama dengan dirinya sendiri:
2. Menguadratkan angka berarti mengalikannya sendiri:
3. Untuk membuat angka menjadi kubus berarti mengalikannya sendiri tiga kali:

Definisi Menaikkan angka ke tingkat alami berarti mengalikan angka dengan sendirinya lagi:
.

Tingkat angka: definisi, penunjukan, contoh

Dalam kerangka materi ini, kami menganalisis berapa derajat jumlahnya. Selain definisi dasar, kami merumuskan apa yang merupakan derajat dengan indikator alami, keseluruhan, rasional dan irasional. Seperti biasa, semua konsep akan diilustrasikan dengan contoh tugas.

Derajat dengan eksponen alami: konsep kuadrat dan kubus bilangan

Pertama, kami merumuskan definisi dasar gelar dengan indeks alami. Untuk ini, kita perlu mengingat aturan dasar perkalian. Mari kita perjelas terlebih dahulu bahwa sebagai pangkalan kita untuk sementara waktu akan mengambil bilangan real (dilambangkan dengan huruf a), dan sebagai indikator, bilangan alami (dilambangkan dengan huruf n).

Tingkat a dengan indeks alami n adalah produk dari sejumlah faktor ke-n, yang masing-masing sama dengan angka a. Tingkat ditulis seperti ini: a n, dan dalam bentuk formula, komposisinya dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Sebagai contoh, jika eksponen adalah 1 dan basis adalah a, maka kekuatan pertama dari a ditulis sebagai 1. Mempertimbangkan bahwa a adalah nilai pengali, dan 1 adalah jumlah pengali, kita dapat menyimpulkan bahwa a 1 = a.

Secara umum, dapat dikatakan bahwa gelar adalah bentuk yang nyaman untuk merekam sejumlah besar faktor yang sama. Dengan demikian, tipe catatan 8 · 8 · 8 · 8 dapat dikurangi menjadi 8 4. Kira-kira karya yang sama membantu kita untuk menghindari penulisan sejumlah besar istilah (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); kami telah menganalisis ini dalam artikel yang ditujukan untuk penggandaan bilangan asli.

Bagaimana cara membaca catatan gelar? Opsi yang diterima secara umum adalah "a to the power of n". Atau Anda bisa mengatakan "derajat ke-n" atau "tingkat ke-n". Jika, katakanlah, dalam contoh kita telah memenuhi catatan 8 12, kita dapat membaca "8 ke tingkat 12", "8 ke tingkat 12" atau "derajat 12 ke 8".

Angka derajat kedua dan ketiga memiliki nama mapan: kuadrat dan kubus. Jika kita melihat derajat kedua, misalnya, angka 7 (7 2), maka kita dapat mengatakan "7 kuadrat" atau "kuadrat dari angka 7". Demikian pula, tingkat ketiga berbunyi seperti ini: 5 3 adalah "kubus angka 5" atau "5 dalam kubus." Namun, juga dimungkinkan untuk menggunakan kata-kata standar "di tingkat kedua / ketiga", itu tidak akan menjadi kesalahan.

Mari kita periksa contoh gelar dengan indikator alami: untuk 5 7, lima akan menjadi basis, dan tujuh - indikator.

Basis tidak harus berupa bilangan bulat: untuk derajat (4, 32) 9, basis akan menjadi sebagian kecil dari 4, 32, dan indikator akan menjadi sembilan. Perhatikan tanda kurung: entri semacam itu dibuat untuk semua derajat yang pangkalannya berbeda dari bilangan asli.

Misalnya: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 4, 35 35, 7 3.

Untuk apa kurung itu? Mereka membantu menghindari kesalahan dalam perhitungan. Katakanlah kita memiliki dua entri: (- 2) 3 dan - 2 3. Yang pertama berarti angka negatif minus dua, dinaikkan menjadi kekuatan dengan indeks alami tiga; yang kedua adalah angka yang sesuai dengan nilai kebalikan dari derajat 2 3.

Kadang-kadang dalam buku kita dapat menemukan ejaan yang sedikit berbeda dari kekuatan angka - a ^ n (di mana a adalah basis dan n adalah indikator). Artinya, 4 ^ 9 sama dengan 4 9. Jika n adalah angka multinilai, n diambil dalam tanda kurung. Misalnya, 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Tetapi kita akan menggunakan notasi dan lebih umum.

Cara menghitung nilai gelar dengan indeks alami mudah ditebak dari definisi: Anda hanya perlu mengalikan n beberapa kali. Lebih lanjut tentang ini, kami menulis di artikel lain.

Konsep gelar adalah kebalikan dari konsep matematika lain - akar angka. Jika kita mengetahui nilai derajat dan eksponen, kita dapat menghitung basisnya. Gelar ini memiliki beberapa sifat khusus yang berguna untuk memecahkan masalah yang telah kami bongkar dalam materi terpisah.

Apakah gelar dengan indikator keseluruhan

Dalam hal derajat, tidak hanya ada bilangan asli, tetapi secara umum setiap nilai integer, termasuk yang negatif dan nol, karena mereka juga termasuk dalam himpunan bilangan bulat.

Tingkat angka dengan bilangan bulat positif dapat ditampilkan sebagai rumus :.

Selain itu, n adalah bilangan bulat positif.

Kami akan memahami konsep nol derajat. Untuk melakukan ini, kami menggunakan pendekatan yang memperhitungkan properti khusus untuk kekuatan dengan basis yang sama. Diformulasikan sebagai berikut:

Kesetaraan a m: a n = a m - n benar dalam kondisi: m dan n adalah bilangan alami, m n, a ≠ 0.

Kondisi yang terakhir ini penting karena menghindari pembagian dengan nol. Jika nilai m dan n sama, maka kita mendapatkan hasil sebagai berikut: a n: a n = a n - n = a 0

Tetapi pada saat yang sama, a n: a n = 1 adalah hasil bagi dari angka yang sama a dan a. Ternyata kekuatan nol dari angka bukan nol adalah satu.

Namun, bukti ini tidak berlaku untuk nol hingga nol derajat. Untuk ini kita memerlukan properti derajat lainnya - properti produk derajat dengan basis yang sama. Ini terlihat seperti ini: a m · a n = a m + n.

Jika n adalah 0, maka m · a 0 = a m (kesetaraan ini juga membuktikan kepada kita bahwa 0 = 1). Tetapi jika dan juga nol, kesetaraan kita berbentuk 0 m · 0 0 = 0 m, Itu akan berlaku untuk setiap nilai alami n, dan tidak masalah berapa nilai derajatnya 0 0, yaitu, bisa sama dengan angka berapa pun dan itu tidak akan mempengaruhi kesetiaan kesetaraan. Oleh karena itu, catatan bentuk 0 0 tidak memiliki arti khusus sendiri, dan kami tidak akan mengaitkannya.

Jika diinginkan, mudah untuk memverifikasi bahwa 0 = 1 menyatu dengan properti derajat (a m) n = a m · n, dengan ketentuan bahwa basis derajatnya bukan nol. Dengan demikian, derajat dari setiap angka bukan nol dengan nol eksponen adalah satu.

Mari kita periksa contoh dengan angka konkret: Jadi, 5 0 adalah satu unit, (33, 3) 0 = 1, - 4 5 9 0 = 1, dan nilai 0 0 tidak didefinisikan.

Setelah nol derajat, tetap bagi kita untuk mencari tahu apa derajatnya negatif. Untuk ini kita memerlukan properti yang sama dari produk derajat dengan basis yang sama, yang telah kita gunakan di atas: a m · a n = a m + n.

Kami memperkenalkan kondisi: m = - n, maka a tidak boleh nol. Dari sini dapat disimpulkan bahwa a - n · a n = a - n + n = a 0 = 1. Ternyata a dan n adalah nomor yang saling terbalik.

Akibatnya, a dalam keseluruhan derajat negatif tidak lain adalah fraksi 1 a n.

Formulasi semacam itu menegaskan bahwa untuk gelar dengan indeks negatif keseluruhan, semua sifat yang sama sebagai gelar dengan indeks alami (asalkan basisnya tidak nol) adalah valid.

Derajat a dengan bilangan bulat negatif n dapat direpresentasikan sebagai fraksi 1 a n. Jadi, a - n = 1 a n pada kondisi a ≠ 0 dan n adalah bilangan bulat positif.

Kami menggambarkan pemikiran kami dengan contoh nyata:

3 - 2 = 1 3 2, (- 4. 2) - 5 = 1 (- 4. 2) 5, 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Di bagian akhir paragraf, kami akan mencoba menggambarkan semua yang dikatakan dengan jelas dalam satu rumus:

Derajat a dengan indeks alami z adalah: az = az, e dengan l dan z adalah bilangan bulat dari a dan z adalah 0 dan z = 0 dan a ≠ 0, (p p p dan z = 0 dan a = 0 p o l o c e s i 0 0, artinya v o r a c io 0 0 n e O p e f eld i s i) 1 az, e s c dan z adalah cel o e r a c t a l a n o e h i s a l o a ≠ 0 ( e sl and z - adalah bilangan bulat dari seri dan a = 0 tanpa akhir dengan i 0 z, ego about Jangan pilih ia besar sekali)

Apa yang dimaksud dengan eksponen rasional?

Kami telah menangani kasus-kasus di mana integer berada dalam eksponen. Namun, dimungkinkan untuk meningkatkan angka ke kekuatan bahkan ketika angka fraksional ada dalam indeksnya. Ini disebut eksponen rasional. Pada titik ini, kami membuktikan bahwa ia memiliki sifat yang sama dengan derajat lainnya.

Apa itu bilangan rasional? Himpunannya meliputi bilangan bulat dan bilangan pecahan, sedangkan bilangan pecahan dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa (baik positif maupun negatif). Kami merumuskan definisi tingkat a dengan eksponen fraksional m / n, di mana n adalah bilangan bulat positif dan m adalah bilangan bulat.

Kami memiliki beberapa derajat dengan eksponen fraksional dan m. Agar properti derajat ke derajat untuk dipegang, persamaan a m n n = a m n · n = a m harus benar.

Mempertimbangkan definisi akar derajat ke-n dan bahwa mn n = a m, kita dapat menerima kondisi a m n = a m n jika m n masuk akal pada nilai m, n dan a yang diberikan.

Sifat-sifat derajat dengan integer di atas akan benar dalam kondisi a m n = a m n.

Kesimpulan utama dari alasan kami adalah sebagai berikut: tingkat bilangan tertentu a dengan eksponen fraksional m / n adalah akar dari tingkat ke-n dari bilangan a ke tingkat m. Ini benar jika, untuk nilai yang diberikan m, n dan a, ekspresi a m n mempertahankan maknanya.

Selanjutnya, kita perlu menentukan batasan apa pada nilai-nilai variabel yang memaksakan kondisi seperti itu. Ada dua pendekatan untuk menyelesaikan masalah ini.

1. Kita dapat membatasi nilai basis derajat: kita mengambil a, yang untuk nilai positif m akan lebih besar dari atau sama dengan 0, dan untuk nilai negatif, lebih sedikit (karena untuk m ≤ 0 kita mendapatkan 0 m, dan derajat ini tidak ditentukan). Dalam hal ini, penentuan derajat dengan indeks fraksional adalah sebagai berikut:

Derajat dengan indeks fraksional m / n untuk beberapa bilangan positif a adalah akar dari tingkat ke-n dari kenaikan pangkat m. Dalam bentuk formula, ini dapat direpresentasikan sebagai:

Untuk gelar dengan basis nol, posisi ini juga cocok, tetapi hanya jika indeksnya adalah angka positif.

Gelar dengan basis nol dan pecahan positif m / n dapat dinyatakan sebagai

0 m n = 0 m n = 0 dalam kondisi m positif dan alami n.

Dengan rasio negatif m n 0, derajatnya tidak ditentukan, mis. catatan seperti itu tidak masuk akal.

Catat satu poin. Karena kami telah memperkenalkan kondisi bahwa a lebih besar dari atau sama dengan nol, kami telah menjatuhkan beberapa kasus.

Ekspresi dan kadang-kadang masih masuk akal untuk beberapa nilai negatif dari dan beberapa m. Jadi, entri (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 benar, di mana basisnya negatif.

2. Pendekatan kedua adalah dengan mempertimbangkan secara terpisah root dan m dengan indeks genap dan ganjil. Maka kita perlu memperkenalkan satu syarat lagi: derajat a, dalam indeks yang nilai fraksinya dikurangi, dianggap derajat a, di mana indeksnya adalah fraksi irreducible yang bersesuaian yang sesuai dengannya. Nanti kita akan menjelaskan mengapa kondisi ini untuk kita dan mengapa itu sangat penting. Jadi, jika kita memiliki catatan a m · k n · k, maka kita dapat menguranginya menjadi m dan menyederhanakan perhitungan.

Jika n adalah bilangan ganjil dan m adalah positif, a adalah bilangan non-negatif, maka m n masuk akal. Kondisi nonnegatif diperlukan, karena akar kekuatan genap tidak diekstraksi dari angka negatif. Jika nilai m adalah positif, maka a bisa negatif dan nol root derajat ganjil dapat diekstraksi dari bilangan real mana pun.

Gabungkan semua data definisi di atas dalam satu catatan:

Di sini m / n berarti fraksi yang tidak dapat direduksi, m adalah bilangan bulat apa saja, dan n adalah bilangan bulat positif.

Untuk fraksi biasa yang dikurangi m · k n · k, derajat dapat diganti dengan m m.

Tingkat bilangan a dengan indeks fraksional yang tidak dapat direduksi, m / n dapat dinyatakan sebagai m dalam kasus-kasus berikut: - untuk setiap a nyata, nilai integer positif m dan nilai ganjil alami n. Contoh: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

- untuk sembarang nol nyata, bilangan bulat nilai negatif dari m dan nilai ganjil dari n, misalnya, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

- untuk non-negatif a, bilangan bulat positif nilai m dan bahkan n, misalnya, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

- untuk a positif, bilangan bulat negatif m dan bahkan n, misalnya, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,.

Dalam kasus nilai-nilai lain, derajat dengan eksponen fraksional tidak ditentukan. Contoh derajat tersebut: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Sekarang mari kita jelaskan pentingnya kondisi yang disebutkan di atas: mengapa mengganti fraksi dengan indeks tereduksi dengan fraksi dengan fraksi yang tidak dapat direduksi. Jika kita tidak melakukan ini, maka kita akan memiliki situasi seperti itu, katakanlah, 6/10 = 3/5. Maka itu harus benar (- 1) 6 10 = - 1 3 5, tetapi - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, dan (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

Penentuan derajat dengan indeks fraksional, yang kami kutip pertama kali, lebih mudah untuk dipraktikkan daripada yang kedua, oleh karena itu kami akan menggunakannya lebih lanjut.

Jadi, derajat bilangan positif a dengan indeks fraksional m / n didefinisikan sebagai 0 m n = 0 m n = 0. Dalam kasus negatif a, entri dan tidak masuk akal. Tingkat nol untuk indikator fraksional positif m / n didefinisikan sebagai 0 m n = 0 m n = 0, untuk indikator fraksional negatif kita tidak mendefinisikan derajat nol.

Dalam kesimpulan, kami mencatat bahwa kami dapat menulis indeks fraksional apa pun baik dalam bentuk angka campuran dan dalam bentuk fraksi desimal: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Saat menghitung, lebih baik untuk mengganti eksponen dengan fraksi biasa dan kemudian menggunakan definisi fraksi dengan eksponen fraksional. Untuk contoh di atas, kita mendapatkan:

5 1, 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Apa itu gelar dengan indikator irasional dan valid

Apa itu bilangan real? Perangkat mereka termasuk bilangan rasional dan irasional. Oleh karena itu, untuk memahami apa gelar dengan indikator yang valid, kita perlu mendefinisikan derajat dengan indikator rasional dan irasional. Soal rasional, sudah kami sebutkan di atas. Kami akan berurusan dengan indikator irasional langkah demi langkah.

Misalkan kita memiliki bilangan irasional a dan urutan aproksimal desimalnya a 0, a 1, a 2,.... Misalnya, ambil nilai a = 1, 67175331... lalu

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671,..., a 0 = 1, 67, a 1 = 1, 6717, a 2 = 1, 671753,...

dan seterusnya (dengan perkiraan itu sendiri menjadi bilangan rasional).

Urutan perkiraan kita dapat mengaitkan urutan derajat a 0, a 1, a 2,.... Jika kita ingat bahwa kita memberi tahu sebelumnya tentang menaikkan angka ke tingkat yang rasional, maka kita dapat menghitung sendiri nilai dari derajat ini.

Ambil contoh a = 3, lalu a 0 = 3 1, 67, a 1 = 3 1, 6717, a 2 = 3 1, 671753,... dan seterusnya

Urutan derajat dapat direduksi menjadi angka, yang akan menjadi nilai derajat c dengan basis a dan indeks irasional a. Singkatnya: gelar dengan indeks irasional dari bentuk 3 1, 67175331.. dapat dikurangi menjadi jumlah 6, 27.

Derajat bilangan positif a dengan eksponen irasional ditulis sebagai a. Nilainya adalah batas urutan a 0, a 1, a 2,... di mana 0, 1, 2,... adalah perkiraan desimal berurutan dari bilangan irasional a. Gelar nol-basis juga dapat didefinisikan untuk indikator irasional positif, dengan 0 a = 0 Jadi, 0 6 = 0, 21 3 3 = 0. Dan untuk yang negatif, ini tidak dapat dilakukan, karena, misalnya, nilai 0 - 5, 0 - 2 π tidak terdefinisi. Satuan yang dinaikkan ke tingkat irasional tetap merupakan satuan, misalnya, dan 1 2, 1 5 hingga 2, dan 1-5 akan sama dengan 1.